4端子プローブを用いた探針法の抵抗率の導出[電磁気学]

電磁気学

こんにちは、こんばんは、らちょです。今回は4端子プローブを用いた4探針法の抵抗率についての導出です。導出のために、電磁気学の電界の知識が必要なので、電磁気学を勉強している方にとっては良い復習の機会になると思います。

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そもそも4端子プローブとは?

4探針法は幅広い分野で使われており、メジャーな抵抗測定法となっているので、みなさんも実際に抵抗を計測する機会は特に理系の工学部の方なら今後増えてくることかと思います。

次に、4端子プローブを用いた4探針法の概要です。図のような無限に広く、無限に厚い導体に4つのプローブを接地させ、外側に電流源を印加し、内側に電圧計を繋げます。電流源から流れる電流をI、電圧計の電圧をVとします。また、各端子間の距離は等しくSになるよう接地させます。

この時、導体の電気抵抗率をρとすると、

で表されることが分かっています。では、実際にどのようにしてこの抵抗率が算出されるか考えていきましょう。

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一つのプローブから広がる電位をイメージしよう

図のように、プローブの接地点からは、接地点を中心として電流が流れています。電流が流れることにより、電位が発生し、等電位面が円形状に広がっている。

ちなみに上から見るとこんな感じです。

ここで、接地点からだけ離れた等電位面のある点Pの電位を考えてみよう。電位を求める際に必要なのは電場の大きさです。電場の大きさは抵抗率[Ω・m]×電流密度[A/m^2]求められる(単位計算をすると、ちゃんとV/mと電場の単位になっていることが分かります)ので、電場の大きさをEとすると、下記のようになります。今回、電流密度は等電位面あたりのものとなっているので、半球の表面積で割っています。

ここまできたら、電位Vを最後に計算しましょう。電位のイメージとしては電場が発生している空間に対し、無限遠点から電場の向きに逆らって電荷を運ぶ仕事の量なので、電場をrについて積分したものとなります。計算式としては

となります。

これを計算すると、

が求められます。これで、一端子のプローブが作る電位のイメージが分かりました。

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4端子に拡張して電位差を考えよう

先ほどの図に電流を図の方向にIだけ流してみましょう。今回、端子Aには電流が+、端子DにはーI流れ込むのはイメージがつくと思います。電圧計の電圧VはVBとVCの差で求められます。VBに関しては、端子A、端子から発生する電位を足しわせたものなので、先ほど求めた

の式を利用して、端子からの距離及び、電流の正負に注意すると、

となります。

同様にして、をVC求めると

ゆえに、電圧Vは

と示され、ρについて解くと、

となり、4探針法の抵抗率が求めることができました!

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最後に

今回の内容はいかがでしたでしょうか。4端子法の抵抗率の式自体は有名ですが、その導出方法は調べてもあまり出てこなかったので、自分も気になったので、解説することにしました。電磁気学の復習とともに身近な測定器具がどのようにして、測定を行っているのかが理解できたかと思います。電磁気学が少しでも身近なものに感じ、みなさんの知識を広げてもらえたら幸いです。それではまた。

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