こんにちは、ぽたです。今回は電磁気の勉強をしていて不思議に思ったことを自分なりに解釈してまとめてみました。
電場の求め方
まずは長さ無限大の円筒導体の電場の求め方を示します。
このような円柱導体があったとします。導体の半径方向にrを取ります。（縦の長さは無限）単位長さ当たりにλ電荷をもっていたとします。すると電場は、ガウスの法則を利用して、
より、
となります。（ε0は導電率、ｒは半径方向の位置）
電位の求め方
電位の求め方は、電場を積分するだけです。基本的なイメージとしては無限遠の電位を０として、無限大からある位置ｒまで積分するといったやり方で行います。求めてみると、
となり、電位は無限大に飛んで行ってしまいます。
よって、無限長の円柱導体の電位は無限大ということがわかります。
電位が無限大なのはなぜ？
それでは電位が無限大になるのはなぜでしょうか。電場自体は１/ｒで減っていっていますよね。なので極値というのは収束しそうな気がします。
しかしここで数列１/xの極値を考えてみましょう。(x=1,2,3・・・）
これが無限大に発散する証明として、
と、なりますよね。さらに、
となり、さらに1/2が増えたことがわかると思います。これを無限につづけていくとどうなるでしょうか。
となり、無限に発散することがわかります。したがって、1/rの電位の積分はどう頑張っても無限大になります。
これはイメージだけでは難しいと思います。しかし、無限大になってしまうことに関しては理解できたかなと思います。
円形導体の攻略法
このままでは、電位の問題は解けませんよね。したがって電位の問題が出る場合というのは、２パターンあります。
①どこかしらを基準にしてそこからの電位差を求める場合
②逆の電荷がかかったものがある
この２パターンに分けられると思います。
①基準点からの電位差を求める場合
これは簡単ですね。電場に沿って積分をするだけです。基準点の距離を導体の外側、aの距離だとして、ｂの位置との電位差を求めたい場合、
となります。
②逆の電荷が存在する
例えば、隣に逆電荷単位長さ当たりーλの電荷をもった円形導体があった場合を考えましょう。
このような場合に、ｘ軸上の点の電荷を求めてみましょう。求め方としては２パターンあると思います。
①左の導体からｄの位置の電位が０なのでそれを利用して積分する。
②limを利用してうまく解く。
だと思います。
①に関しては、先ほど行ったものを同じように２つの導体分の電界の積分を行うだけです。簡単ですよね。
②に関しては言っている意味が分からないと思うので例として解いてみたいと思います。
まずは、無限大の部分をｎと置いて最後に無限大に飛ばすという極限の考え方をして解きます。例えば、右側の導体よりｂ右側の点の電位について、考えてみましょう。
それでは無限遠をｎと置いて、電場を積分すると、
これをｎ→∞とすればよいので、答えとしては、
となります。もし、電荷の値が同じだった場合、いい感じにｎを消すことができるのでこの解き方ができるようになります。
ただし、電荷が同じではない場合には利用できないので注意してください。
最後に
今回は電場の求め方から電位の求め方、さらに無限遠の円柱導体は電位が無限大ということが分かったと思います。そして解き方についても理解していただけたかなと思います。
ほかにも調べてもあまり出てこないようなことをまとめています。ぜひほかの投稿も見ていってください。
それではまた、ぽたでした。
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